FOM: Grothendieck verbatim

[Colin McLarty]

        Here are some germane quotes from Grothendieck's RECOLTES ET
SEMAILLES. Steve Simpson has twice insisted they must be "verbatim". This
seems odd to me for an English language list like FOM but I have done it.
Perhaps someone Steve trusts better will translate. I omit accent marks as
they do not travel well on e-mail. And I use all caps where Grothendieck
uses wide spacing.

Grothendieck says loss of meaning is a very real problem for math:
 
        Pour reprendre l'expression de C.L. Siegel, on assiste de nos jours
a une extraordinaire "Verflachung", a un "aplatissement", a un
"retrecissement" de la pensee mathematique, privee d'une dimension - la
dimension visionaire, celle du reve et du mystere, celle des profondeurs -
avec lequelle elle n'avait jamais avant (il me semble) perdu tout contact.
Je le ressens comme un DESSECHEMENT, un DURCISSEMENT de la pensee, perdant
sa souplesse vivante, sa qualite nourriciere - devenue pur OUTIL, raide et
froid, pour l'execution impeccable de taches "a l'arrachee", des taches aux
encheres publiques - quand le sens de propos et de direction, et le sens de
ces taches elle-memes comme parties d'un vaste Tout, sont oublies par tous.
(970-971)  


Most specifically, he feels this has happened to his cohomology theories.
The "resultat" he begins with here has to do with finding the correct
category of "cystalline coefficients" (a device for cohomology). I cannot
say how accurate his appraisal of this theorem is but you can see how he
says a formally correct result can be meaningless if not given the right
general context:

        Ils se trouve que c'est ce resultat aussi qui, a partir d'octobre
1980, a connu la fortune la plus brilliante, stupefiante meme, alors
pourtant qu'il a ete approprie (comme naguere la cohomologie L-adique, ou la
tarte a la creme cristalline de car. p) comme un OUTIL seulment, arrache
d'une vision qui lui donne tout son sense et toute sa force. (957)


Grothendieck repeatedly says the key to his overall vision is now neglected:

        l'idee unificatrice feconde et le puisante outil de decouverte
qu'est la notion de TOPOS, est maintenue par une certaine mode au ban des
notions reputee serieuses. (181)

Of course he refers to Grothendieck toposes, which not only happen to be
universe-sized sets, but which led him to the idea of universes. On SGA 4,
the work where he introduced toposes, and universes:

        c'est un des textes mathematiques auxquels j'ai consacre le plus de
temps et le soin le plus extreme, reecrivant et faisant reecrire de fond en
comble, notamment, tout ce qui concerne les sites et les topos et les
"prerequisites" categoriques. La raison de ce soin exceptionelle, c'est que
je sentais bien a quel point il s'agit la d'une veritable pierre angulaire
pour le developpement de la "geometrie arithmetique" dont j'etais en train
de jeter les bases depuis une decennies. (704)  

And he says:

        Par contre je ne vois personne d'autre sur la scene mathematique, au
cours des trois decennies ecoulees, qui aurait pu avoir cette naivete, ou
cette innocence, de faire (a ma place) cet AUTRE pas crucial entre tous,
introduisant l'idee si enfantine de topos (ou ne serait-ce que celle des
"sites".) (P42)


The "flattening" that Grothendieck cares most about is precisely this
neglect of this "veritable pierre angulaire" and "pas cruciale entre tous",
which is his toposes. And Grothendeick toposes are universe sized.

I will get to his view on abstractness but first a critique of Bourbaki, and
especially Bourbaki's notion of "structure":

        D'autre part, des les annees cinquante, l'idee de structure s'est
vue depasser par les evenements, avec l'afflux soudain des methodes
"categoriques" dans certaines des parties les plus dynamiques de la
mathematique, telle la topologie ou la geometrie algebrique. (Ainsi la
notion de "topos" refuse d'entrer dans le "sac bourbachique" des structures,
decidement etroit aux entournures!) En se decidant, en plaine connaissance
de cause, certes, a ne pas s'engager dans cette "galere", Bourbaki a par
lui-meme renonce a son ambiton initiale, qui etait de fournir LES fondaments
et LE langage de base pour l'ensemble de la mathematique contemporaine. (P62)



On abstraction, its uses, and when it is merely an unattractive game:

        Par exemple, dans certains travaux c'est la structure LOGIQUE de la
theorie qui est mise en avant, dans d'autres ce seront les aspects
INTUITIFS. Il y a un desequilibre, se manifestant chez le lecteur ou
l'auditeur par un sentiment de MALAISE bien familier (et parfois chez
l'auteur aussi), quand l'un de ses aspects indispensables est grossierement
neglige, au "profit" de l'autre. (549)

        Pas plus que "la pensee", ou "le langage", "l'abstraction" par
elle-meme n'est ni "simple", ni "complexe" (ou "compliquee"). (Alors meme
qu'il est vrai qu'il y a dans l'abstraction ces niveaux successifs,
correspondants aux niveaux de profondeur de la pensee sondant les choses.)
Sa "raison d'etre, cependant, c'est d'etre outil pour acceder au simple.
Tout comme la raison d'etre d'un couteau bien affute est de couper - ce qui
n'empeche pas qu'on peut aussi l'utiliser pout ecraser une mouche avec le
plat de la lame ou du manche... (PU69-70)

        Il y a en premier lieu, ce qu'on pourrait appeler l'abstraction
"pour plaisir", en lieu et en place de l'abstraction "par necessite". J'ai
bien l'impression que ce genre de "jeu de l'abstraction" est presque
toujours sterile.